you estamos claros de que vamos a abordar el problema de predecir el valor de una magnitud que está cambiando y esa magnitud ¿cuál va a ser? La posición en un movimiento. ¿ Y en qué movimiento? En el más simple de todos, en el movimiento en lÃnea recta. De todos los movimientos posibles en lÃnea recta todavÃa vamos a considerar el más sencillo. Los invito a que veamos en esta filmina la situación. Es un movimiento en lÃnea recta con una velocidad constante. Consideran conmigo que eso es lo más simple de todo. Entonces tendrÃamos nosotros a nuestra partÃcula que está con una posición inicial de dos metros y se mueve con una velocidad constante de tres metros por segundo. Estaremos de acuerdo también en que nos es posible que mi partÃcula esté como se la estoy mostrando ahorita. Parada en esa posición inicial y que empiece en movimiento. Si asà fuera su velocidad inicial serÃa cero. Entonces en este tipo de situación tenemos que tener claridad en que el fenómeno estaba ocurriendo eternamente, es decir esta partÃcula venÃa desde menos infinito pasó por aquà y luego siguió hacia infinito. Lo que pasa es que cuando yo se las muestro como lo tengo ahora en la pantalla es digamos como una foto. Cuando ahà iba pasando por la posición inicial dos, yo le tomo la foto, yo inicio con mi conómetro a medir el tiempo y es entonces el momento en el que empieza el estudio de este fenómeno, de esta situación real. Entonces estando claros de esto, vamos a ponernos a analizar que podrÃamos a hacer para predecir valores de la posición de esta partÃcula. El mismo lenguaje nos dice que si su velocidad es tres metros por segundo cada segundo estarÃa avanzando tres metros. Entonces, esto you lo hemos visto con muchso estudiantes. Vamos a tomar en un segundo. Vamos a poner aquà que en un segundo, la partÃcula you se movió. En un segundo está en posición, ¿en cuál serÃa la posición? A lo mejor ustedes you lo están pensando igual que yo. La posición serÃa cinco metros, ¿cierto? ¿ Por qué? Pues porque estaba en la posición dos, pasó un segundo, se movió a tres y you llegó al cinco. Vamos a poner aquà el cinco, you llegó la partÃcula, ¿ok? De esta misma manera si discursivamente podrÃamos decir que en dos segundos, a los dos segundos, está en la posición, ¿en cuál? La posición serÃa ocho, ¿no? Ocho metros y si nos vamos asà segundo a segundo, a los tres segundos la posición serÃa once. Y a los cuatro segundos la posición serÃa once y tres son catorce, ¿no? ¿ Qué estamos viendo? Aquà hay una variación de tres unidades cada vez que avanzamos en el tiempo una unidad, ¿de acuerdo? Bueno, esta manera de hacerlo es una manera que hemos observado que puede estar en nuestra mente de esta forma. Puede ser que yo esté imaginando, un momento que voy a cambiarle aquà el color, puede ser que yo esté imaginando a la partÃcula que está aquà en la posición digamos dos la inicial y después you cambió a la cinco y después you cambió a la ocho. Después you cambió a la once y asà nos vamos. Puede ser que esté viendo la secuencia en ese sentido que cada vez le agrego tres. Pero puede ser que tenga una alternativa distinta. Esta alternativa que les voy a mostrar es una tal que me va a permitir que después yo pueda accionar un pensamiento muy matemático de generalizar. ¿ A qué me refiero? A que podamos hacer las cosas de una manera en donde no tengamos que hacer la anterior parte para hacer la siguiente, ¿ok? Sino que podamos hacerla desde un pensamiento inicial. Voy a retomar aquà con un color distinto. Vamos a poner aquà este verde. Piensen en lo siguiente, este valor inicial. Después cuando pasó un segundo, llegué a éste que está aquÃ, al cinco. O sea, al dos que tenÃa antes le sumé tres metros por segundo multiplicado por un segundo. Este tres multiplica, está significando la velocidad constante multiplicada por el tiempo transcurrido. Llegamos asà al cinco. Ahora para irme del cinco al ocho, o sea esto es lo que voy a prescindir, más bien voy a ir del cinco al ocho. Lo que voy a hacer es irme desde el dos hasta el ocho. Si me voy desde el dos hasta el ocho pensarÃa que al número dos inicial le estoy sumando los metros que se movió. Y los metros que se movió la partÃcula son seis, ¿ por qué? Porque se movÃa tres metros cada segundo y esto lo hizo durante dos segundos. Entonces tendrÃa la expresión dos más tres por dos. Nuevamente, en lugar de irme del ocho al once lo que voy a hacer ahora es provocar este tipo de acción, irme desde el dos hasta el once. Si hacemos este tipo de razonamiento entonces tendrÃamos que al dos, el valor inicial, le vamos a sumar ¿cuántos? Tres, seis, nueve. Pero ese nueve vienen siendo el valor de la velocidad que es constante que se mantiene durante tres segundos. Entonces me queda dos más tres por tres es nueve. De la misma manera llegará este catorce que tenemos acá que serÃa: al dos que tenÃamos originalmente le vamos a sumar la velocidad constante multiplicada por el tiempo transcurrido que es un cuatro, ¿no? Esta manera de razonar, la que tengo en el tono verde, no la que tengo en el tono rojo. La del tono verde es una tal que sà me permite hacer cuestiones de generalización. O sea, si estoy pensando de esta manera, yo los invito en esta secuencia a que ustedes vean a que en el paréntesis un valor de tiempo que está cambiando. Si ahorita tomo un color distinto, digamos un rojo. Aquà les puedo poner en el número uno un resaltador rojo, en el número dos un resaltador rojo, en el número tres, en este tres que está en el paréntesis, ¿sÃ? Y en el número cuatro y entonces me puedo preguntar ¿qué va a pasar a los cinco segundos? A los cinco segundos you mentalmente estarÃa diciendo dos más tres por cinco, ¿no? A los seis segundos dos más tres por seis donde el tres por seis está haciendo la multiplicación de la velocidad constante por el tiempo transcurrido y asà podrÃa seguir en mi secuencia mental de tal manera que diga a los t segundos, en este momento me he atrevido a representar con una letra estos números rojos que están aquÃ. En lugar de uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, simplemente voy a decir t y eso, como les digo es una acción bien matemática, es una generalización, una forma de simbolizar que voy a dejar en mi mente que esa letra tenga distintos valores numéricos. De esta manera pudiera llegar a la expresión dos más tres por t. Si yo soy fiel a lo que he hecho antes, entonces tendrÃa que poner este paréntesis, ¿lo notan? Este paréntesis, aquà estaba, aquà estaba, aquà estaba. Ese paréntesis era necesario en las anotaciones con los números porque si no lo escribiéramos, entenderÃa como que aquà serÃa dos más treinta y cuatro. Es necesario meter este paréntesis para indicar la multiplicación. Cuando la expresión se escribe you con letras es como que la simbologÃa matemática, precindamos del paréntesis y escribámoslo asÃ, como si fuera una palabra: dos más tres t. Es más, uno you no dice dos más tres por t, realmente economiza en el lenguaje y dice dos más tres t. Esto es muy importante de hacer notar porque cuando nuestro pensamiento es en reverso, ahorita yo les invitarÃa a decir pues que la posición x, que x signifique posición y entonces lo que tendrÃamos nosotros es que x es igual a dos más tres t. Pero más que esto nosotros quisiéramos con ustedes compartir una anotación matemática. O sea, acuérdense que la simbologÃa matemática es algo en lo que tenemos que poner mucha atención. Entonces, de una vez me gustarÃa que adoptemos esta anotación x paréntesis t. Este paréntesis que está aquÃ, no es una multiplicación, x evaluado en t, o x depende de t. Es una manera de nosotros decir, mi posición depende del tiempo transcurrido y la expresión de esta posición es dos más tres t. A lo que hemos arribado nosotros ahorita con ustedes es a una representación algebraica, una representación algebraica que me permite expresar lo que ocurre en el fenómeno con la situación cualquier, en cualquier instante t. En cualquier valor numérico que sustituyamos aquà para la variable t. Tenemos esta representación algebraica, tenemos aquà en esta zona estas representaciones numéricas que hemos visto, que seguramente ustedes estén familiarizados con ella, comúnmente lo que se hace es una tabla de valores donde se pone aquà la t y aquà x, el valor de la x, entonces aquà tendrÃamos nuestros números representados como cero vale dos, uno vale ¿qué dijimos?, cinco. Dos vale ocho y asà nos vamos. Ãsa serÃa nuestra representación numérica aquà hay números presentes, aquà hay una formula you matemática, algebraica por accionar, es decir en esta fórmula cada vez que yo quiera calcular el valor de x en cuatro como el de acá, lo que tendrÃa es x de cuatro igual a dos más tres por cuatro y entonces ahà tendrÃamos exactamente el valor catorce que estamos esperando. Entonces estas dos anotaciones numérica, o sea la numérica y la algebraica you es parte de nuestro arsenal de recursos para tratar con las situaciones reales. Una representación numérica, una representación algebraica y los invito a que terminemos con esta cápsula viendo una representación pero gráfica. Una representación visual del fenómeno. Tengo una animación que me gustarÃa preparar y pasársela en este momento. Tenemos entonces ahorita en la pantalla nuestra partÃcula p, en matemáticas vamos a verla en vivo y a todo color. Vamos a ver esta partÃcula. Vean ustedes, me muevo sobre una lÃnea recta, con velocidad constante. Ahora sÃ, esta animación está preparada para que la partÃcula venÃa, ¿no? desde menos infinito y va a irse hasta más infinito. O sea, éste es el fenómeno digamos, ésta es la situación real que estamos analizando. Claro que cuando el hombre empieza a analizar estas situaciones, empieza a meter sus instrumentos. Uno es el tiempo, ahà tenemos un cronómetro que está accionándose a la vez que estamos viendo el fenómeno, la situación real. Entonces, vean ustedes como ahorita está interviniendo otra magnitud. No es solamente la posición de la partÃcula sino también el tiempo que está transcurriendo. Este eje que apareció ahorita. Lo que estamos haciendo es pensar en el tiempo transcurriendo en un horizontal. Esto lo veo asà como desdoblar el tiempo, con esa idea del tiempo en un reloj. El eje real que you conocemos nos va a servir ahora para representar el tiempo transcurrido y en ese sentido no es nada más que cero, un segundo, dos segundos. Vemos que puede ser medio segundo, un tercio de segundo, raÃz de dos segundos, etc. Aquà está lleno de nuestros números reales. Cuando está ese eje en la horizontal y observamos la posición de la partÃcula, lo que tenemos es dos rectas horizontales. Pero una recta es la que está significando la posición de la partÃcula y la otra es la que significa el tiempo. En esa rectas horizontales puede haber una confusión en cuanto al paso del tiempo y el movimiento. Ahora que vemos el movimiento en acción, vean ustedes como por un lado tengo a la partÃcula que se mueve sobre la lÃnea recta y por otro lado vieron ustedes una partÃcula que estaba subiendo, como si las partÃculas se fueran al cielo. No piensen que las partÃculas se van al cielo, lo que pasa es que nuestra representación del movimiento, nuestra representación matemática, exige que este eje horizontal donde se movÃa la partÃcula quede ahora en una vertical. De una manera que el movimiento que veÃamos en horizontal tenemos que interpretarlo en la vertical. Si tomamos una siguiente escena aquà en la animación. Aquà tenemos la interpretación gráfica, vean ustedes que pasa la partÃcula y al mismo tiempo que pasa el tiempo con este cuadrito blanco, la partÃcula está yendo hacia arriba y se producen puntos que nos hacen esta recta. Esta recta con cierta inclinación. Esa recta nos está representando la variación de las dos magnitudes, pero you integrada, por un lado está el tiempo, por otro lado está la posición. Tengo dato de tiempo, dato de posición que junto en una imagen gráfica, de esta manera por ejemplo en un instante en particular nosotros tendrÃamos lo que vamos a ver a continuación. Vean ustedes, nos regresamos la partÃcula, pensemos en su interpretación aquà sobre el eje vertical y entonces para ella tenemos un valor de tiempo transcurrido, aquà se ve que es como un siete. Y aquà tendrÃamos un valor de la posición. La posición vendrÃa estando representada en este segmento vertical que coincide con el valor numérico que está justamente por aquÃ. Me da la impresión que fuera un veintitres. A lo mejor es un veintitres, seguramente ahora que trabajemos con la representación algebraica en nuestra siguiente sesión podremos comprobarlo. Ahorita, lo que querÃa es que tuvieran esta imagen visual del comportamiento de la partÃcula donde hemos obtenido una recta para representar ese movimiento. Este nuevo objeto matemático que estoy recorriendo con el cursor es un objeto que nos servirá para interpretar el movimiento de nuestra partÃcula. Lo retomaremos en la siguiente sesión pero me gustarÃa que comenzáramos en ella con una sÃntesis de las diferentes representaciones matemáticas del fenómeno que estamos estudiando.
