Hola, Continuamos con 8.08: "Anulación por doble inyección", que es la materia previa al teorema del elemento extra. En los próximos módulos vamos a estudiar el teorema del elemento extra, que fue postulado por el profesor Middlebrook en 1989, y este teorema, junto con su extensión, que es el teorema del N- ésimo elemento extra, nos va a permitir simplificar los cálculos de funciones de transferencia. El teorema del elemento extra sirve para cálculos de funciones de transferencia. ¿Cómo? Una función de transferencia complicada, tal vez puede simplificarse, si es que tomamos el circuito, le sacamos algún elemento, calculamos la función de transferencia y luego, incorporamos cambios en esa función de transferencia, cuando le ponemos el elemento de vuelta al circuito. Esa es la idea. Y esos son cálculos más simples que resultan en expresiones más fáciles de analizar. Pero, para entender bien ese método, lo primero es estudiar este concepto de la anulación por doble inyección, que es un truco interesante. Este es un concepto, "null double inyection" o NDI, que lo que dice es lo siguiente. Supongamos que tenemos un circuito LTI, "Linear Time-Invariant" o lineal invariante en el tiempo, típico circuito que hemos estudiado en este curso, que tiene una entrada, puede tener más de una entrada, pero no importa, vamos a asumir que tiene una entrada, tiene una salida, puede tener más, pero vamos a mirar esta salida, vamos a mirar esta entrada y vamos a mirar un puerto, y este puerto le vamos a llamar "puerto 1". Lo vamos a poner entre paréntesis (puerto 1). Y en este puerto vamos a aplicar una señal que es de corriente; esto es bien específico, una señal tiene que ser de corriente, y lo que vamos a tratar es que al meterle una señal de entrada, la salida va a ser distinta de 0, y luego le metemos una señal de corriente y vamos a ajustar esa señal de corriente, tal que la salida se vuelva 0. Y cuando ajustemos esa señal de corriente y la salida se vuelva 0, vamos a medir este voltaje. Esa es la idea. ¿Para qué? No importa, ya nos va a servir, pero esa es la idea. Metemos una señal de entrada, la salida se vuelve distinta de 0. Ajustamos esta corriente hasta que la salida es 0 y para esa corriente en que la salida se vuelve 0, medimos ese voltaje. Eso es lo que vamos a hacer. Aplicando superposición, que es la forma más obvia, la salida u_0 va a ser una combinación lineal de la entrada y la corriente que estamos inyectando. Mientras que este voltaje del puerto 1 que estamos midiendo, va a ser también otra combinación lineal entre la entrada y la corriente que estamos inyectando. Esto es, simplemente, ecuaciones matriciales. Esto es, en general, para cualquier circuito LTI, donde a_1 1 es la salida partida por la entrada, cuando la corriente que estamos inyectando es 0, este puerto está abierto que es la forma de hacer que la corriente sea 0, y a ese le vamos a llamar H_0, que es una función de transferencia. Después, a_1 2, va a ser la salida cuando le inyectamos corriente I y la entrada es 0, anulamos esta, inyectamos corriente y calculamos esa función de transferencia desde la corriente hasta la salida. Después tenemos a_2 1, que es el voltaje V en función de u_i cuando esta corriente es 0. Y finalmente, tenemos a_ 2 2, que es el voltaje V partido por la corriente I, es esa relación entre V I cuando este es 0. Vamos a medir esas 4 relaciones. Cuando aplicamos 2 excitaciones distintas, que son u_i y la corriente I, esta y esta, podemos anular la respuesta, si es que la ajustamos correctamente. Vamos a decir que 0 va a ser a_1 1 por u_i más a_1 2 por I, para esos valores específicos de u_i y de I, y para esa condición, V no necesariamente va a ser 0, vamos a tener estas 2 relaciones. Podemos definir, porque vamos a estar midiendo una corriente I aquí, que estamos inyectando y vamos a medir un voltaje V aquí, V e I son 2 relaciones que se pueden dividir entre sí. V partido por I tiene unidades de impedancia. Tranquilos, vamos para alguna parte. Podemos dividir V por I bajo la condición que hace que la salida sea 0. Y a esa razón entre V e I, que es una impedancia, no es una resistencia, no es un elemento circuital, es una impedancia conceptualmente, porque es razón entre V e I, a esa que tiene unidades de ohm, le vamos a llamar "Z cursiva del puerto 1", y Z cursiva el puerto uno, por lo tanto, es el V que se ve en ese puerto partido por la corriente I que le estamos inyectando, cuando la salida se anula. Y es posible demostrar que ese valor puede ser calculado a partir de estos 4 elementos de esa matriz, a_ 1 1, a_ 2 2 menos a_ 1 2, a_2 1 partido por a_1 1. No hay nada especial aquí. Y esto corresponde a la impedancia del puerto 1 cuando se anula la respuesta u_0. Lo que estamos haciendo es inyectar una corriente, medir el voltaje y por lo tanto, estamos calculando la impedancia vista en este puerto cuando se anula esta salida. Algunas observaciones, porque hay aquí hemos visto 2 impedancias, una que es sin cursiva y otra que es con cursiva. La sin cursiva corresponde a la impedancia del puerto 1 y se calcula considerando solo I como excitación, cuando la entrada es 0. Hacemos la entrada 0, ponemos I, calculamos el voltaje y la razón entre ambas es Z sin cursiva. Zeta cursiva, en cambio, es parecida, también es una impedancia del puerto 1, pero no cuando la entrada es 0, sino cuando la salida es 0. Z cursiva se calcula moviendo I, tal que u se vuelva 0, y cuando u se vuelve 0, ese I que le estoy inyectando, divido el voltaje visto aquí por ese I, y obtengo, por lo tanto, la impedancia de este puerto, a ese le llamamos Z cursiva. Z cursiva va a ser al anular la salida, manteniendo la excitación, además, de la corriente I. Para calcular Z cursiva, que nos va a interesar mucho en este truco de doble anulación, no es necesario calcular a_ 1 1, a_1 2, a_ 2 1 y a_2 2. Podríamos hacer estas 4 mediciones, pero lo interesante es que no es necesario hacer todo esto. Se puede, pero nosotros vamos a hacerlo de otra forma, y la otra forma es buscar la condición que anula la respuesta del circuito. Vamos a remitirnos a esta idea de los ceros del circuito. Cuando trabajábamos con ceros y decíamos qué condición se da para que la respuesta se anule, esto es parecido, vamos a aplicar como el mismo método. Vamos a verlo con un ejemplo. Calculemos Z sin cursiva y Z cursiva en este circuito. Y aquí lo vamos a medir en el puerto 1. Partamos por Z sin cursiva. Z sin cursiva es simplemente ver cuál es la impedancia de este puerto. Z sin cursiva es R_2, esa impedancia, más todo lo que se ve allá, cuando anulamos esta entrada, y esto resulta de conexión en serie y paralelo. Esto sale por inspección. Me quedó simplemente R_2 en serie con R_1, que está en paralelo con todo lo que está aquí, que incluye a R_3 en paralelo con R_L, esas 2 quedan en paralelo. No es tan obvio, pero comparten 1 terminal, comparten 2 terminales, por lo tanto, están en paralelo, y así uno puede llegar a esta expresión. Listo. Ya calculamos Z sin cursiva. Ahora calculemos Z con cursiva. ¿Cómo es Z con cursiva? Z con cursiva es el Z visto, la impedancia vista en ese puerto, cuando la salida se anula. Y podríamos calcularla aquí. Pero también podemos calcularla aquí, eliminando R_2 y haciendo una relación entre ambas. A esta la vamos a llamar "Z cursiva", que esa es la que queremos calcular, y esta es "Z cursiva prima". Y nosotros podemos calcular Z cursiva como la impedancia vista como Z cursiva prima, sin R_2, poniéndole en serie el R_2. Z cursiva va a ser la misma que la impedancia vista en este puerto, pero agregándole en serie R_2, porque R_2 claramente aquí está en serie. Si a esto le agregamos una resistencia en serie, va a aparecer ahí. Esta relación nos permite calcular Z cursiva del puerto 1, que es lo que queremos calcular, simplificando un poquito el análisis, entonces, vamos a calcular Z cursiva prima que es sin R_2 y después le agregamos el R_2. Esa es la idea. La pregunta aquí que tenemos que hacernos al mirar este circuito para calcular Z cursiva prima es: ¿qué condición tiene que ocurrir aquí para que este puerto tenga 0? Eso es lo que estamos mirando, la impedancia que se ve en el puerto al anular la salida. ¿Qué condición se da para anular esta salida? Para anular esta salida la corriente es 0. Si la corriente es 0 aquí, entonces R_4 tiene la misma corriente que R_3, porque esa corriente de alguna forma tiene que devolverse para que no haya corriente en este puerto. Por otro lado, si este puerto tiene corriente 0, este voltaje es 0, entonces, este nodo y este nodo están al mismo potencial, y ese tipo de relaciones son las que vamos a usar para hacer estos cálculos. Z prima cursiva, va a ser V_T partido por I_T en ese puerto, donde, esto lo podemos calcular, I_4 es V_T partido por R_4, asumiendo que, si este es 0 volts y aquí no hay corriente, este también es 0 volts, por lo tanto, I_4 va a ser V_T partido por R_4. Nosotros podemos hacer el mismo análisis para llegar a que si este es 0 volts, este es V_i, la corriente I_T va a ser menos R_ 3 partido por R_4 por V_T, porque podemos calcular I_3 como V_i partido por R_3 con un signo negativo. Y de aquí podemos llegar a I_1, fácilmente V_T menos V_i partido por R_1, y podemos ir reemplazando. Y, finalmente, llegamos a que I_T tiene esta expresión, y de aquí podemos calcular V_T partido por I_T, podemos despejar V_T partido por I_T, y llegamos a la expresión para la impedancia. En este caso, la impedancia sería R_4 paralelo, R_1 partido por 1más R_3 partido por R_4. Esa es la impedancia vista en este puerto, que hace que la salida se anule. Y, finalmente, aplicamos esta expresión que está acá y sumamos R_2 al anterior para llegar a Z cursiva 1, que es todo esto que está acá. Listo, llegamos a Z cursiva. Noten algo. Noten que Z cursiva no contiene a los elementos que desaparecen o que se cortocircuitan virtualmente, cuando anulamos la respuesta del circuito. Nosotros aquí llegamos a este concepto de cortocircuito virtual, porque dijimos: "Este voltaje y este son el mismo, tienen que ser el mismo para que la corriente sea 0". Esa condición le llamamos "condición de cortocircuito virtual", porque no hay un cortocircuito real, no estamos cortocircuitando esos dos, simplemente estamos diciendo que están al mismo voltaje. Y ese cortocircuito virtual involucra a R_L, por lo tanto, R_L no debe aparecer en la expresión para Z cursiva, eso es lo que estamos diciendo aquí. Z incluye a R_L. Z cursiva no incluye a R_L. ¿Qué aprendimos hoy? Aprendimos este truco de la anulación por doble inyección, que consiste en inyectar 2 señales distintas para anular una salida, y probamos esto con un ejemplo. Y esto resulta en 2 impedancias, una impedancia que le llamamos Z, que es la impedancia del puerto cuando la entrada es 0, y Z cursiva, que es la impedancia de ese puerto cuando la salida es anulada.
