Hola. Seguimos con 8.10, "Teorema del elemento extra", nuevamente, pero esta vez para fuentes dependientes. Como vimos en la videolección anterior, una impedancia es un caso especial de una fuente dependiente, teorema de la sustitución. En realidad no en la videolección anterior, eso lo vimos hace mucho tiempo. Con esto en mente, podemos considerar los siguientes circuitos donde nos interesa calcular H. Tenemos un sistema LTI que es modelado por H, una función de transferencia H, que puede ser calculada como nuestra salida partido por nuestra entrada. Aquí está nuestra salida partida por nuestra entrada. Y, además, tenemos un puerto 1, un par de terminales 1, donde hay una fuente dependiente que produce una corriente, que es A veces, una cierta señal de otra parte del circuito. O, alternativamente, tenemos otra función de transferencia, que me lleva de u_i1 a u_o1, todo esto es H que es el que queremos calcular, donde, además, en un puerto del circuito hay una fuente dependiente, una fuente de voltaje dependiente de otra señal, puede ser voltaje o corriente, medida en otra parte del circuito, ambas con ganancia A. Lo que queremos hacer nosotros es ver cómo calcular H de una forma sencilla, y calcular H de una forma sencilla, aplicando el teorema del elemento extra, va a ser calcular H, eliminando la fuente controlada. Luego de eso, hacer algunos cálculos adicionales y, después de eso, calcular H juntando todos los parámetros, correspondientes. Al igual que antes, por superposición, u_o1 o es a_11 por por u_i1 más a_12 por u_i2, y u_o2, que es este voltaje o corriente auxiliar que no está controlando nuestra fuente controlada, es a_21 u_i1 más a_ 22 u_i2. Y, además, tenemos esta otra ecuación que nos relaciona u_o2 con u_i2. u_i2 es A veces u_o2, lo cual puede prestarse para confusiones, porque estamos diciendo la entrada es A veces la salida. Es confuso, porque lo típico es que uno diga que la salida es una función de la entrada, pero lo que estamos diciendo aquí es que esta salida nos está controlando otra corriente, que es la que queremos eliminar. Lo mismo se puede aplicar para voltaje. A lo que podemos llegar es que H_0 va a ser la función de transferencia, u_o1 partido por u_i1, la función de transferencia que me convierte esta señal en esta otra cuando A es 0, cuando sacamos la fuente dependiente extra. El elemento extra, en este caso, es una fuente dependiente, la sacamos del circuito. Al sacarla del circuito, que es lo mismo que hacer A igual 0, podemos calcular el H_0, que es una función de transferencia relativamente fácil de calcular. Ese H_0 va a ser este parámetro a_11. Después, nosotros podemos multiplicar por todo esto, que incluye A que es la ganancia de mi fuente dependiente. Incluye varias otras cosas, menos a_22 que podemos calcularlo como u_ o2 partido por menos u_i2 cuando u_i1 es 0, u_o2 partido por menos u_i2 cuando mi entrada u_i1 es 0. Y tenemos este otro A cursiva del puerto 1, que es todo esto que está acá, todo lo que está en el paréntesis es A cursiva del puerto 1, y esa A cursiva puede ser calculada como u_o2 partido por menos u_i2, esos 2 se parecen, cuando u_o1 es 0. Esa A cursiva sería como la ganancia de esta fuente controlada, u_o2 partido por u_i2, que es como la ganancia resultante de esta fuente controlada, cuando logro que mi salida sea 0, cuando hago este truco de la anulación de la salida. Juntando todo. Teorema del elemento extra para fuentes dependientes es H, que es la función de transferencia que yo quiero calcular; es H_0, que es la función de transferencia fácil, eliminando la fuente dependiente por 1 más A cursiva A, partido por 1 más A por A. Donde A cursiva es, como veíamos antes, la ganancia de anulación de menos u_i2 a u_o2, con la respuesta con la salida anulada, donde menos u_i2 es una fuente independiente con polaridad inversa u_i2. Y este otro A, A barra 1, es la ganancia de menos u_i2 a u_o2, es lo mismo hasta ahora, pero no es ganancia de anulación, en este caso no se anula la salida, se anula la entrada, yo apago la entrada. Aquí está el resumen. Yo primero calculó H_0. ¿Cómo calculo H_0? Apagando la fuente. En el caso de fuentes de corriente, la forma de apagar la fuente es sacándola. A igual 0 es lo mismo que decir que la corriente es 0. En el caso de las fuentes de voltaje, la forma de apagar la fuentes es cortocircuitándola. Después cálculo A cursiva, en este caso, tratando de anular la salida, esto es 0, anulando la salida. Hay que aplicar un cierto voltaje, u_i2 prima, para que la salida se anule. Y después, tenemos este otro, que es A barra, en que hacemos algo parecido, pero en este caso, anulando la entrada. Hay una forma alternativa del teorema del elemento extra para fuentes dependientes, que es como la dual del anterior. Tiene H_0 prima, que es u_o1 partido por u_i1 cuando A va al infinito, no cuando A vale 0, y que eso es lo mismo que A barra cursiva partido por A barra por H_0, y esta parte de la expresión cambia. Nuevamente, depende del circuito cuál de las 2 expresiones utilizamos. En ciertos circuitos H_0 es 0 o H_0 prima es 0, por lo que necesariamente pueden utilizar la otra. ¿Qué significa, en términos circuitales, hacer que A tienda a infinito? Eso es como bien raro, es como superraro. Tender a 0 es fácil, pero tender a infinito, no sé qué significa. En esta lámina lo explicamos. Si hacemos que A tienda a infinito y esta corriente es finita, la única opción es que esto sea 0, porque algo finito es un infinito por un 0. Lo que hay que hacer ahí es anular esto. De la misma forma, si yo tengo que u_i2 es A veces u_o2, y si esto es finito y A es infinito, necesariamente este tiene que valer 0. Cualquier valor finito de u_i2 igual a u_o2 con ganancia A infinita, requiere que u_o2 sea 0. Ejemplo, Calculemos H de s. Tengo igual V_o partido por V_i con a_0, mi elemento extra, y vamos a hacer a_o que tienda a infinito. Vamos a calcular H prima de 0. Vamos aquí, H prima, ¿cómo se calcula H prima? u_o1 partido por u_i1 cuando A vale infinito. Para que A valga infinito, A por V_e, entonces, V_e tiene que ser 0. Si V_e vale 0, significa que la corriente aquí es 0. Si la corriente aquí es 0, significa que esta corriente es igual a esta corriente. Si esta corriente iguala a esta corriente, entonces tenemos que I_1, finalmente, es V_i partido por R_1, este es 0 volts, V_i partido por R_1, y H_0 prima va a ser V_o partido por V_i, y podemos calcularlo como menos R_ 3 partido por R_1, eso sale de aquí. Es muy parecido a la fórmula de un amplificador operacional, porque se está comportando de esa forma. Tenemos una corriente que pasa por aquí, después pasa por allá, pasa por este 0 virtual, después pasa por allá y produce un voltaje de salida. Ya calculamos H_0 prima, ahora tenemos que calcular A cursiva barra y A barra. Tenemos que calcular este y este. A cursiva barra requiere anular la salida y, según esto, A cursiva barra va a ser u_o2 partido por u_i2 prima cuando anulamos la salida, u_o2 del que estamos midiendo y u_i2 prima que es el voltaje o la corriente de salida de la fuente dependiente. Abajo va esto. Es un poquito raro, pero este de aquí va abajo, V_T va abajo. Pero yo tengo que aplicar el V_T con el signo contrario. Eso es lo que me dice esto, hay que aplicar el signo contrario, u_i2 prima lleva el signo contrario. Aquí está ese signo contrario. Aplicamos el signo contrario y hacemos V_e partido por V_T cuando la salida es 0. Si la salida es 0, la corriente es 0. Si esa corriente es 0, entonces esta corriente y esta son iguales, I_3 igual a I_4. Si I_3 es igual a I_4, y uno saca conclusiones, finalmente, llegamos aquí, A1 es menos R_ 3 partido por R_4. Perfecto. V_e partido por V_T menos R_3 partido por R_4. Y después calculamos A barra, y A barra va a ser lo mismo, pero cuando la entrada es 0, no cuando la salida es 0. Podemos hacer ese cálculo y llegamos aquí, A barra es V_e partido por V_T. Finalmente, juntamos todo y podemos llegar a algunas cosas. Este de aquí hay que calcularlo. Aquí hacemos el cálculo y el cálculo resulta en una expresión relativamente complicada, pero nada imposible. ¿Qué aprendimos hoy? Aprendimos el teorema del elemento extra para fuentes dependientes. Vimos que hay 2 formulaciones, al igual que el teorema del elemento extra para impedancia, y vimos cuándo usar cada una. Gracias por ver esta videolección.
