[MUSIC] Hola, hemos llegado, 8.09. Este gran superpoder, teorema del elemento extra para impedancias, que es un caso particular. A ver, si bien el teorema del elemento extra es aplicable para cualquier elemento circuital en la práctica. Impedancias o fuentes dependientes que son los elementos circuitales que tiene un circuito LTI. Sin contar las excitaciones, que no son parte del circuito. Primero, vamos a revisar esta aplicación del teorema del elemento extra para impedancias. Que es un caso particular y un poquito más fácil de entender. Prepárense, esto requiere concentración. Entonces, miremos este circuito, es el mismo circuito que habíamos visto en este truco de la anulación por doble inyección, ¿cierto? Lo vamos a mirar pero desde otro punto de vista. Nosotros queremos calcular la función de transferencia que me permite determinar u sub o en función de u sub i. Esa función de transferencia es la que queremos calcular. El problema es que es un circuito complicado. Y un circuito que tiene aquí una impedancia. Una impedancia puede ser una capacitancia, puede ser un resistor, puede ser incluso una impedancia equivalente. Y sucede que el análisis del circuito se simplifica un montón, un montón, si le sacamos esa impedancia, si la sacamos del circuito. Entonces, saquémosla del circuito. Calculemos H sin esa impedancia, y luego hacemos un par de cálculos adicionales y calculamos cómo se vería H con esa impedancia. Eso es el teorema del elemento extra para impedancia, y eso es lo que vamos a tratar de hacer. Entonces, queremos calcular la función de transferencia uo partido por ui. Entonces hagamos algo, porque esto se tiene que parecer un poco a lo que habíamos hecho antes, que era inyectarle una corriente al circuito. Eso es lo que habíamos hecho, el truco de la anulación por doble inyección. Entonces, si este es un teorema de sustitución, que no lo hemos visto formalmente pero ustedes you se manejan con esto. Que dice que una impedancia en realidad es como una fuente controlada. Una impedancia tiene un voltaje y una corriente, y la razón entre estas es la impedancia. Entonces, uno perfectamente podría decir que la impedancia es una fuente de corriente contralada por el voltaje entre sus terminales. O que la impedancia es alternativamente una fuente de voltaje controlada por la corriente a través de ella. Y con eso tenemos la misma expresión, da lo mismo. Entonces, podemos reemplazar esta impedancia de este circuito. Por una fuente de corriente controlada por el voltaje entre sus terminales, con razón -V partido por Z. El circuito no se va a dar ni cuenta que le cambiamos la corriente, que le cambiamos la impedancia por una fuente. No se da cuenta, no sabe, no tiene idea. ¿Por qué el signo menos? ¿Se les ocurre o no? ¿Por qué el signo menos? Bueno, el signo menos viene porque las impedancias tienen la corriente que entra por el positivo. En cambio, las fuentes de corriente tienen la corriente que sale por el positivo. Entonces, tiene que ir un signo menos ahí. Okay, entonces you hicimos un pequeño truco que es reemplazar esta impedancia por una fuente de corriente equivalente. Entonces, ahora podemos calcular el H, que es u0 partido por u sub i, y tenemos estas expresiones que teníamos de antes. Estas expresiones son del truco de anulación por doble inyección. u0 es a11 u sub i + a12 x I. Y V es a21 por u sub i + a22 x I. Y tenemos esta tercera relación que aparece a través de este teorema de la sustitución. Que nos permite reemplazar esta impedancia por una fuente de corriente controlada por voltaje. Entonces, you tenemos estas tres expresiones, y es posible demostrar que La función de tranferencia H que estamos buscando. Esto no lo vamos a demostrar, pero es un teorema que es demostrable y es el teorema del elemento extra. Esta función que estamos buscando,, que es H, va a ser un H0 multiplicada por esta expresión, es posible demostrar eso.. Donde H0 es la impedancia, perdón, es la función de transferencia de ui a u0 cuando eliminamos este elemento extra. Multiplicado por todo esto, que parece complicado pero no lo es tanto. Y descubrimos aquí que a22 es el Z no cursiva de la clase anterior, y que todo esto es el Z cursiva de la clase anterior. Que ahí está, y descubrimos que este Z es el Z que acabamos de quitarle al circuito. [LAUGH] Esto es maravilloso, no puedo con tanto. Entonces finalmente, y esta es la forma en que aplicamos el teorema del elemento extra, es la siguiente. Tomamos este circuito LTI, que tiene una entrada, tiene una salida, tiene una impedancia que nos está molestando. Porque esta impedancia hace que la función de transferencia de entrada salida sea terriblemente complicada. Entonces, la sacamos. Sacamos esa función de transferencia, calculamos la función de transferencia sin la impedancia. Luego calculamos la impedancia puerto cursiva, que es la impedancia que ocurre cuando este puerto se anula. Calculamos la impedancia de puerto sin cursiva, que es la impedancia de este puerto cuando la entrada es 0. Y aplicamos esta expresión donde Z es la impedancia que le habíamos sacado al circuito para hacerlo más fácil. Y esto nos permite calcular funciones de transferencia horribles, simplificándolas al eliminar una impedancia. Y luego combinándolas para incluir el efecto de la impedancia. Entonces que interesante, porque de alguna forma esto es el efecto de la impedancia extra que le estamos agregando. Y eso es lo que nos dice el teorema del elemento extra. Esto es tremendo, ¿?, esto es realmente tremendo. Una forma alternativa, y que tal vez algunos de ustedes you se lo están preguntando. Es, bueno, ¿qué pasa si yo en realidad no quiero dejar un circuito abierto aquí? Yo quiero dejar un cortocircuito. Entonces, nosotros podemos expresar esto de esta forma. H es H0 prima, donde H0 prima es la razón entre salida y entrada cuando la impedancia del elemento extra es reemplazada por un cortocircuito. Y el resto cambia también porque se dan vuelta estas dos, ahí se dieron vuelta. Entonces, ¿cuál expresión del teorema del elemento extra vamos a usar? ¿Vamos a usar esta, o vamos a usar esta? Depende, hay circuitos donde H0 es 0. Y si el H0 es 0, entonces no puedo usar esta, voy a tener que usar la otra. O al revés, hay circuitos donde H0 prima es 0. Si H0 prima es 0, no puedo usar esta y tengo que usar la otra. Ejemplo, vamos a ver este ejemplo. you habíamos visto algo parecido, sí, parecido. En este caso, el ejemplo es calculemos la función de transferencia que me mueve de Vi a Vo. O sea, ese es el H(s) que yo quiero calcular. H(s) va a ser Vo partido por Vi Y vamos a usar, como elemento extra, C. O sea, vamos a decir que esta función de transferencia es más fácil calcularla si sacamos a C de ahí. ¿Podríamos haberlo hecho con RC? Sí, también podríamos haberlo hecho con RC. Pero da lo mismo, vamos a usar C. Entonces, lo primero es calculamos, tenemos que calcular varias cosas. H0, tenemos que calcular la impedancia de puerto cuando la salida se anula, la impedancia de puerto cuando la entrada se anula. Y meter en esta ecuación la impedancia, en este caso, del capacitor. Entonces, partamos calculando H0. Si este desaparece del circuito y se convierte en un circuito abierto, que eso es lo que estamos diciendo aquí. Entonces, H0 sale por inspección, es cosa de mirar esto y ver que es un divisor de voltaje. Y con ese divisor de voltaje finalmente podemos calcular Vo partido por Vi. Listo, you tenemos H0. Háganlo en sus casas, pero es un divisor de voltajes RL y tenemos estas otras. Después, Z cursiva y Z no cursiva you fueron calculadas en la videolección anterior y las tenemos aquí. Son las mismas expresiones, you están. Por lo tanto, vamos a juntar todo, y al juntar todo, H(s) es H0. De s, en este caso, no es de s pero da lo mismo. Y tenemos el resto de las expresiones, porque Z, Z que no lo habíamos puesto, ZC, aquí está. ZC es 1 partido por sC, ¿cierto? ZC es 1 partido por sC y es mi elemento extra. Entonces, finalmente llegamos a esta expresión. Oye, y aquí hay varias cosas interesantes, uno puede mirar que el polo es menor que el 0, y se pueden mirar otras cosas también. ¿Qué cosas podemos mirar aquí? Bueno, que al haber elegido inteligentemente que C era el elemento extra. Entonces, la parte que calculamos con H0 nos da sin capacitancia, nos da algo totalmente estático. Entonces, esta es la parte como DC de esta función de transferencia. Y el resto me da la parte que depende de la frecuencia. Todo esto depende de la frecuencia, podemos decir que es dependiente de la frecuencia. Yo veo aquí un 0, aquí veo el efecto de un polo. Y esto es mucho, mucho más fácil de analizar que calculando esto con nodos y mallas. Así que esto es un superpoder, es un superpoder circuital. ¿Qué aprendimos hoy? Por fin, teorema del elemento extra para impedancias. Vimos dos formulaciones y cuándo usar cada una. Muy bien, vayan y hagan el bien, nos vemos.
