Hola, bienvenidos al tema de Velocidad instantánea. Vamos a empezar este tema observando esta gráfica. En esta gráfica podemos describir el movimiento de la partícula. Es una gráfica de posición versus tiempo. Habíamos hablado, en el tema pasado, del cambio de posición, aquí podríamos hablar de diferentes tipos de cambio de posición de la partícula. Observen que la partícula en "t" igual a un segundo está en cero, es decir, en el origen, lo que nosotros llamamos "origen". En "t" igual a dos segundos la partícula está en cuatro metros, es decir, podemos hablar del cambio de posición de la partícula de uno a dos segundos, que sería cuatro menos cero, es decir, cuatro metros sería el cambio de posición. Pudiéramos también hablar del cambio de posición de la partícula de uno a tres segundos, y como observamos que la partícula está en cero metros en uno y en tres segundos, significa que el cambio de posición es de cero metros. Hacemos una descripción con cambio de posición, pero, sin embargo, no es suficiente. Aquí decimos: una mejor descripción del movimiento no sólo usando la posición de la partícula, se necesita la velocidad media. También, hablamos de la velocidad media en el tema pasado, entonces, hagamos uso de esta velocidad media. Si nosotros vemos la gráfica, observamos que la velocidad media de la partícula de un segundo a dos segundos, sería cuatro menos cero, sería cuatro metros el cambio de posición, dividido entre un segundo, es decir, la partícula tiene una velocidad media de cuatro metros por segundo, de uno a dos segundos. Podemos decir que la velocidad media de uno a tres segundos, es igual a cero. ¿Por qué? Porque la posición de la partícula en uno es igual a cero y la posición de la partícula en tres es igual a cero. El cambio posición es cero dividido entre el intervalo que es de dos segundos, es cero. La velocidad media nos hace una mejor descripción de la posición de la partícula, del movimiento de la partícula, sin embargo, no lo es suficiente. La velocidad media nos da una información incompleta, por ejemplo cuando decimos que la velocidad media de uno a tres segundos es igual a cero. ¿Qué nos dice eso? Solamente que el cambio de posición fue cero, sin embargo, no sabemos hasta dónde se movió la partícula, cómo se movió la partícula. Entonces, tenemos que hacer más el uso de mayor número de intervalos para poder saber qué pasó con la partícula. Entonces, si hacemos eso, pudiéramos hacer cálculos de la velocidad media de la partícula en intervalos quizá más pequeños, para poder tener una mejor descripción de la partícula. Pudiéramos hablar no solamente del cambio de posición o de la velocidad media de uno a tres segundos, podríamos decir la velocidad media de uno o dos segundos, la velocidad media de 1 a 1,5 segundos, la velocidad media entre 1 y 1,1 segundos. De esa manera, podemos describir mejor al movimiento de la partícula. Lo ideal sería que pudiéramos tener infinito número de intervalos, en donde podemos encontrar la velocidad media en todos los intervalos y eso nos da una descripción mucho mejor del movimiento de la partícula. Entonces, esto nos lleva a la necesidad de tener que hablar de la velocidad instantánea. La velocidad instantánea proviene precisamente de la velocidad media, por eso, aquí decimos: de la velocidad media a la velocidad instantánea. Nosotros tenemos la ecuación de la velocidad media, que es igual al cambio de posición sobre el intervalo de tiempo. Si hablamos de la velocidad instantánea, podemos decir que ese cambio de la posición entre el intervalo de tiempo, lo tenemos que hacer en un intervalo de tiempo muy pequeño. Para poder hablar de "velocidad instantánea" tenemos que hablar de un intervalo de tiempo que tiende a cero, matemáticamente decimos "tiende a cero". La simbología es esa, el límite de "delta x" sobre "delta t" cuando "delta t" tiende a 0, sería la definición de velocidad instantánea. ¿Qué significa numéricamente esta definición de "velocidad instantánea"? Para ello vamos a hacer uso de una ecuación, la ecuación "dos, t al cuadrado menos tres" es la que vamos a utilizar. Hacemos el cálculo de la velocidad media entre 2 y 3 segundos, en la tabla lo ofrecemos en "t" igual a 2 segundos la posición 5, en "t" igual a 3 segundos la función es 1,5, de tal manera que su cambio de posición es 10. Tenemos el intervalo de tiempo que es 1, de tal manera que la velocidad media sería 10 metros por segundo, ese sería el cálculo de 2 a 3 segundos. Sin embargo, si queremos hacer cálculos de velocidad instantánea, tenemos que decrementar el intervalo de tiempo. Si hacemos el cálculo de 2 a 2,5, la velocidad media en ese intervalo lo que nos sale es 9 metros por segundo. Si hacemos el cálculo de la velocidad media de 2 a 2,1 segundos, es decir, el intervalo ahora tenemos como 0,1, es 8,2 metros por segundo. De la misma manera, con un intervalo más pequeño aún, 0,01 segundo es un intervalo pequeño, observamos que la velocidad media es igual a 8,02 metros por segundo. El último cálculo que tenemos en la tabla, una velocidad media de 2 a 2,001 segundo, es decir, el intervalo es 0,001 segundo. La velocidad media calculada de esta manera, es 8,002 metros por segundo. Observen los valores de la velocidad media, cada vez más pequeño el intervalo, y obtenemos el valor más cercano a la velocidad instantánea de la partícula. Con esta tabla podemos concluir que la velocidad instantánea en "t" igual a dos segundos de esta partícula es de ocho metros por segundo. Entonces, eso es lo que significan numéricamente la definición de la "velocidad instantánea". Ahora, ¿qué significa gráficamente? Si yo tengo una gráfica de posición versus tiempo, como la que tenemos en la gráfica, podemos calcular la velocidad media, por ejemplo, entre uno y tres segundos. Si hacemos eso, sería la posición en tres menos la posición en uno, dividida entre el intervalo. Esto nos da dos metros por segundo. ¿Qué significa esto en la gráfica? Si yo observo, en "t" igual a uno la posición "dos metros", eso me da en la gráfica unas coordenadas "1,2". Si yo tengo la posición que es de seis metros en "t" igual a tres segundos, nos da otra coordenada. Gráfico esas dos coordenadas. La velocidad media, si yo calculo la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos en la gráfica, resulta que esa pendiente es exactamente igual a la velocidad media. Por lo tanto, un significado gráfico de la velocidad media es la pendiente de la recta que pasa por dos puntos del intervalo. Esto es la velocidad media. Pero, ¿qué pasa con la velocidad instantánea? Recuerden que la velocidad instantánea no es más que una velocidad media con un intervalo muy pequeño. Hagamos el intervalo más pequeño, observen en la gráfica que tenemos un intervalo más pequeño. Aún así, observen qué es la pendiente, la velocidad media sería la pendiente de esta recta que pasa por dos puntos. Necesitamos hacer un intervalo suficientemente pequeño, esto significaría que esos dos puntos van a colapsar a un solo punto, de tal manera que la recta que pasaba por dos puntos se va a convertir en una recta que pasa por un sólo punto. Esta recta, le conocemos como una "recta tangente" a la gráfica. Entonces, si yo quisiera calcular la velocidad instantánea en "t" igual a un segundo, lo que tendría que hacer es colocar una recta tangente en "t" igual a un segundo y calcular la pendiente de esta recta. Esto nos daría la velocidad instantánea. Eso es lo que significa gráficamente la definición de "velocidad instantánea". De tal manera que, si en esta misma gráfica tenemos diferentes tiempos, por ejemplo, en "t" igual a un segundo tendríamos la recta que representa a la velocidad instantánea, la pendiente de esta recta es la velocidad instantánea. En este caso, observen que la pendiente es positiva, la velocidad instantánea es positiva, la partícula se mueve con una velocidad positiva. En "t" igual a tres segundos la partícula tiene una velocidad igual a cero. ¿Por qué decimos esto? Observen cuál es la recta tangente en "t" igual a tres segundos, es una recta horizontal, la pendiente de una recta horizontal es cero. Eso significa que la velocidad instantánea en un tiempo determinado, en este caso, tres segundos, es igual a cero. Posteriormente a 3 segundos, observamos que la velocidad pasa a ser negativa, por ejemplo, en 4,5 segundos. En 4,5 segundos, si nosotros colocamos una recta tangente a la gráfica en "t" igual a 4,5 segundos, lo que obtenemos es una recta que tiene una pendiente negativa. Esa pendiente negativa nos indica que la velocidad es negativa. Entonces, esto nos va a ayudar muchísimo en la descripción, en este caso, la partícula antes de tres segundos tenía unas velocidades positivas, después de tres segundos tiene velocidades negativas, y exactamente en tres segundos tiene la velocidad exactamente igual a cero. Con esta definición de "velocidad instantánea" vamos a hacer cálculos de velocidad instantánea por medio de tres métodos: el método aproximado, el método gráfico y el método analítico. Vamos a ver cada uno de estos métodos. Si empezamos con el método aproximado, vamos a hacerlo con una con una función, con un ejemplo de una función. Tenemos que la función de posición de este ejemplo es "dos, t cuadrada" menos "1t". Necesitamos la velocidad instantánea de un tiempo determinado, por ejemplo, calculemos la velocidad instantánea en "t" igual a un segundo. Si hacemos esto, recuerden que, para calcular la velocidad instantánea, lo que tengo que hacer es calcular una velocidad media en un intervalo muy pequeño. Vamos a hacerlo de un intervalo de 1 segundo a 1,001 segundos, es un intervalo de 0,001 segundos, es un intervalo pequeño. Hacemos los cálculos y decimos "x de uno" sería sustituir uno en la ecuación, es igual a uno. "X de 1,001", sustituimos 1,001 en la ecuación y nos da 1,003002. Si yo hago el cálculo del cambio de posición sobre el intervalo de tiempo que es 0,001, lo que nos queda es 3,002. Entonces, pensemos, ¿cuál debe ser la velocidad de la partícula en "t" igual a un segundo? En ese caso, debe ser tres metros por segundo. Este es el método aproximado. La pregunta sería, ¿qué intervalo se debe escoger? Yo escogí 0,001 segundos, ¿por qué no escoger 0,00001, o 1 por 10 a la menos 8? Es decir, ¿qué nos dice qué intervalo tan pequeño podemos escoger? Observemos esta tabla, tenemos la misma ecuación y vamos a hacer cálculos de velocidades media con diferentes intervalos. Fíjense que, si hacemos un cálculo de la velocidad media de 1 a 1,1, lo que nos queda es 3,2 metros por segundo. Si decrecemos el intervalo, estamos decreciendo el intervalo entre 10, vemos que los números van cambiando de 3,2 metros por segundo, que sería la velocidad media entre 1 y 1,1, a 3,02 metros por segundo, 3,002 metros por segundo, 3,0002 metros por segundo. Observen que cada vez que decrementamos el intervalo la velocidad media va acercándose a la velocidad instantánea. ¿Dónde detenernos? Observemos la ecuación, la ecuación está dada con tres cifras significativas. A tres cifras indicativas en el resultado, observamos que los dos últimos valores, el 3,002 y el 3,0002, ambos con tres cifras indicativas son exactamente igual a 3,00. Eso significa que no tenemos que hacer más cálculos, la velocidad instantánea de esta partícula en "t" igual a un segundo es precisamente tres metros por segundo. Eso fue con respecto a el método aproximado. Ahora, veamos cómo vamos a hacerle para encontrar la velocidad instantánea en el método gráfico. Para ello, utilizamos esta gráfica. Tenemos una gráfica de posición versus tiempo, y queremos encontrar la velocidad instantánea en un tiempo determinado. Calculemos la velocidad instantánea en dos segundos, en "t" igual a dos segundos. Para ello, en el método gráfico, recordemos, lo que tenemos que hacer es encontrar el punto de la gráfica en "t" igual a dos segundos. Ahí, en este punto, lo que trazamos es una recta tangente. La pendiente de esta recta tangente, recordemos, es la velocidad instantánea, esa fue nuestra interpretación. Calculemos la pendiente de esta recta tangente. Para poder calcular la pendiente de la recta tangente podemos utilizar cualquiera dos puntos, podemos utilizar el punto que ya teníamos, que es "2,8", en "t" igual a dos la posición de la partícula es de ocho metros, y podemos utilizar cualquier otro punto de la recta. En este caso, como ejemplo vamos a utilizar el punto "1,4". De esta manera, podemos calcular la pendiente de esta recta, sería "ocho menos cuatro" dividido entre "dos menos uno", eso nos da cuatro. Cuatro es precisamente la velocidad instantánea. Es un "delta x" sobre "delta t", que sería "ocho menos cuatro" sobre "dos menos uno", y eso nos da cuatro metros por segundo. La velocidad instantánea de la partícula de esta gráfica en "t" igual a dos segundos es igual a cuatro metros por segundo. El último método que vamos a ver es el método analítico. El método analítico es importante porque vamos a encontrar la velocidad instantánea no solamente para un tiempo determinado. Observen que, en el método aproximado y en el método gráfico, encontramos esa velocidad instantánea en un tiempo determinado, en un segundo o en dos segundos. El método analítico nos va a dar la posibilidad de encontrar la velocidad instantánea para cualquier tiempo. Para ello, necesitamos la ecuación de posición. Se basa mucho en álgebra, tenemos que hacer uso de nuestros conocimientos de álgebra. La definición de velocidad instantánea nos dice: la velocidad instantánea es igual al límite de "delta x" sobre "delta t", cuando "delta t" tiende a cero. Vamos a hacer un intervalo de tiempo general, vamos a decir que el intervalo de tiempo es desde un tiempo "t" a un tiempo "t más épsilon", donde "épsilon" es un valor, una constante, un valor muy pequeño. Observen ese intervalo: "t" a "t mas épsilon". Ese es el intervalo, es muy general porque estamos utilizando la variable "t" y ese valor que vamos, finalmente, a hacerlo muy pequeño. Observen que el intervalo sería "t más épsilon" menos "t", tiempo final menos tiempo inicial, y esto nos da "épsilon", el intervalo va a ser "épsilon". De tal manera, que podemos sustituir en nuestra definición de la "velocidad instantánea" como el límite de "delta x", en este caso sería "x, de t mas épsilon", la posición de la partícula en "t más épsilon", menos la posición de la partícula en "t", dividido sobre el intervalo, que en este caso es "épsilon". Entonces, ese límite cuando "épsilon" tiende a cero. Entonces, vamos a hacer esto con una ecuación y vamos a encontrar la velocidad instantánea para cualquier tiempo. Tomemos como ejemplo "x de t", es decir, la posición de la partícula en función del tiempo, dada por "dos, t cuadrada" menos "1t". Si hacemos eso, observamos la definición, que la expresamos en función de "épsilon", y lo que necesitamos es la posición de la partícula en "t más épsilon". Para poder hacer esto, lo que tenemos que hacer es lo que hacíamos anteriormente, no es otra cosa, tenemos que sustituir el valor, en este caso es "t más épsilon", en la función, en este caso, "dos, t cuadrada" menos "1t". Sustituimos "t mas épsilon" por "t" y lo que obtenemos es "dos; por t más épsilon, al cuadrado" menos "uno, multiplicado por t más épsilon". Si hacemos todo el desarrollo matemático que es pura álgebra, lo que obtenemos es que la posición en "t más épsilon" es la expresión que tenemos aquí abajo en la última parte de la filmina. También, necesitamos la función de posición en "t". No es más que la misma, la función de posición en "t" es precisamente "dos, t cuadrada" menos "1t". Necesitamos la diferencia, es decir, este es el cambio de posición, el cambio de posición sería la posición final menos la inicial, en este caso, sería la posición en "t más épsilon" menos la posición en "t". Entonces, aquí volvemos a hacer uso de nuestra álgebra. Ponemos lo que teníamos de la posición en "t más épsilon", le restamos la posición en "t" y obtenemos el resultado final, que es "cuatro t épsilon" más "dos, épsilon al cuadrado" menos "uno épsilon". Ese sería el resultado del cambio de posición. ¿Qué más tenemos que hacer? Tenemos que dividir el cambio de posición sobre el intervalo de tiempo, en este caso, "épsilon". Si dividimos la expresión que teníamos anteriormente sobre "épsilon", lo que nos queda es "4t" más "dos épsilon" menos "uno". Esa sería la expresión de la velocidad media. Ahora, lo que tenemos que hacer es el límite de esta velocidad media cuando "épsilon" tiende a cero. Lo único que tenemos que hacer es sustituir "épsilon" como cero y nos queda la velocidad instantánea. En este caso, la velocidad instantánea es "4t" menos "uno" metros por segundo. Observen que obtuvimos la velocidad instantánea para cualquier tiempo. Yo puedo encontrar con esta ecuación la velocidad en "t" igual a un segundo, la velocidad en dos segundos, en tres segundos o cualquier tiempo que yo quisiera. Esta es la ventaja del método analítico. Con esto terminamos el tema. Los esperamos el siguiente tema.
