Hola, bienvenidos a interpretación de gráficas. Aquí, lo que vamos a hacer es construir gráficas de velocidad a partir de gráficas de posición. Además, vamos a construir gráficas de posición a partir de gráficas de velocidad. Vamos a empezar con los primeros. El primer paso sería encontrar la gráfica de velocidad a partir de una gráfica de posición. Tengamos este ejemplo, en este ejemplo se presenta la posición de la partícula en función del tiempo. ¿Qué es lo que sabemos con respecto a esta gráfica? Lo que sabemos es que la pendiente de una recta tangente a la gráfica en un tiempo dado representa la velocidad instantánea en ese tiempo, es decir, si yo tengo la gráfica y tengo un tiempo dado "t1", por ejemplo, si yo grafico una recta tangente en la gráfica en "t1", yo sé que la pendiente es la velocidad en "t" igual a uno, eso sería una cosa que sabemos. También sabemos que el tiempo en que la pendiente de la recta tangente es cero, es decir, una recta horizontal, entonces la velocidad es cero en ese tiempo. Veamos nuestra gráfica, en "t" igual a 16 segundos observamos que la recta tangente es horizontal, eso significa que su pendiente es cero. Al tener pendiente cero significa, entonces, que la velocidad instantánea en 16 segundos es igual a cero. La partícula en ese momento está en reposo, es decir, instantáneamente está en reposo. También sabemos que el intervalo en el que las rectas tangentes tengan pendientes positivas, la velocidad en ese intervalo es positiva. Observen que, en este caso, desde cero hasta 16 segundos, la pendiente es positiva, en todo el intervalo esa pendiente es positiva, llega a ser cero la pendiente en "t" igual a 16 segundos. También sabemos que en el intervalo en que las rectas tangentes tengan una pendiente negativa, la velocidad es negativa. Veamos aquí, en nuestra gráfica de posición observamos que de 16 segundos en adelante, hasta toda la información que tengamos, hasta la observación que tengamos, en este caso, tenemos rectas tangentes que sus pendientes son negativas, esto significa que la velocidad es negativa. Hasta el momento tenemos que la velocidad es positiva de cero a 16 segundos, la velocidad es cero en "t" igual a 16 segundos y la velocidad es negativa en 16 segundos en adelante. ¿Qué más sabemos? La velocidad tiene un valor positivo en "t" igual a cero, observemos eso. Si observamos esto, nosotros tenemos que en "t" igual a cero la pendiente de la recta tangente es positiva, entonces la velocidad inicial es positiva. La velocidad empieza a decrecer desde "t" igual a cero hasta llegar a cero en "t" igual a 16. ¿Se fijan que en la gráfica de posición, la recta tangente, su pendiente va decreciendo? Eso significa, entonces, que la velocidad va decreciendo hasta llegar a "t" igual a 16 donde es cero. Y también sabemos que después de "t" igual a 16 la velocidad es negativa y empieza a aumentar negativamente, pero aumenta, el valor absoluto aumenta aunque es valores negativos, hasta el último momento en que observamos esa partícula. Entonces, todo eso sabemos. Sabemos que la partícula en "t" igual a cero tiene velocidad positiva, decrece su velocidad hasta llegar a cero en "t" igual a 16 segundos, a partir de ahí empieza a aumentar su velocidad en dirección contraria, es decir, su velocidad negativa, en dirección contraria, aumenta su velocidad hasta que la dejamos de observar. Con esto es suficiente información para poder graficar en forma cualitativa la velocidad de la partícula en función del tiempo. Aquí, si observan, la velocidad inicial es positiva, decrece hasta llegar a ser cero y luego aumenta negativamente esa velocidad, es decir, en dirección opuesta. Esa gráfica fue una gráfica sencilla. Veamos esta gráfica de posición, que es un poco más complicada. En este caso, hay muchos intervalos en donde va a cambiar esa velocidad, esa es la gráfica de posición que vamos a analizar. Los máximos y mínimos de la gráfica de posición, ¿qué son? Recordemos, en un máximo, lo que tenemos es una recta tangente en ese tiempo que es horizontal, en un mínimo la recta tangente también es horizontal. Eso significa, entonces, que la velocidad es cero en los máximos y mínimos, en este caso son tres, dos máximos y un mínimo, tenemos que la velocidad es igual a cero en ese tiempo específico. Eso es importante saberlo. Tenemos dos máximos, "t" igual a uno, "t" igual a 10 segundos, y un mínimo en "t" igual a cinco segundos aproximadamente. Aquí lo vuelvo a poner, es un máximo en "t" igual a uno, en "t" igual a diez segundos hay otro máximo y un mínimo aproximadamente en cinco segundos. La velocidad inicial es positiva también sabemos. Veamos, en efecto, en "t" igual a cero, si yo trazo una recta tangente en la gráfica me queda una recta que tiene una tangente positiva, eso significa que la velocidad es positiva, inicial. También sabemos que la velocidad es positiva de cero a un segundo, si yo agarro el intervalo de 0 a 1 segundo, observen cómo la velocidad va decreciendo, pero sigue siendo positiva hasta llegar a cero en "t" igual a un segundo. Entonces, en todo el intervalo de cero a un segundo, la velocidad es positiva. La velocidad es negativa de uno a cinco segundos, si observamos en la gráfica, tenemos que de uno a cinco segundos la velocidad es negativa. ¿Se fijan que la posición cambia de ser positiva a negativa? Eso no importa finalmente para la pendiente de la recta tangente, la recta tangente es negativa en todo el intervalo de uno a cinco segundos. Al llegar a cinco segundos, recuerden, la velocidad llega a ser cero. Y observen cómo, también, esa velocidad en "t" igual a uno es cero, empieza a aumentar negativamente y luego empieza a disminuir hasta llegar a ser cero también. La velocidad es positiva de "t" igual a cinco a "t" igual a diez segundos, en este otro intervalo tenemos que la velocidad es positiva en todo ese intervalo, desde cinco segundos hasta diez segundos. La velocidad es negativa de "t" igual a diez segundos en adelante, a partir de diez segundos la velocidad se vuelve negativa y va aumentando, aumentando. Con esa información es suficiente para construir la gráfica de velocidad, y esta sería una gráfica cualitativa en donde, nosotros, a la hora de hacerlo en un cuaderno, nos va a salir un poco más cualitativa que esto, no van a tener en el eje vertical los valores de velocidad, en este caso se hizo con un software de gráficas. Pero la gráfica, finalmente, uno la puede hacer con la información que tenemos de manera cualitativa. Hasta el momento vimos cómo hacer una gráfica de velocidad a partir de una gráfica de posición. Otro de los objetivos de este tema es hacer lo inverso, es decir, si yo tengo una gráfica de velocidad, como la que tengo en este momento, quiero saber cómo es la gráfica de posición, tenemos que hacer un análisis, un análisis en donde podamos encontrar esa gráfica de posición. ¿Qué sabemos? Los tiempos en los que la velocidad es cero son tiempos en que la posición, o es un máximo, o es un mínimo, ¿recuerdan?. Si tenemos una gráfica de posición, los máximos y mínimos serán con velocidad cero porque la recta tangente en ese tiempo era cero, era horizontal. Al revés tenemos exactamente lo mismo, si yo tengo que la velocidad en ciertos tiempos es cero, eso nos asegura que la gráfica de posición debe tener máximos o mínimos en esos tiempos. En este caso, observen cómo en un segundo, en cinco segundos y en diez segundos, aproximadamente, tenemos que la velocidad de la partícula es cero, porque la gráfica nos está diciendo que es cero. En esos tres tiempos tiene que haber máximos o mínimos. ¿Qué más sabemos? Sabemos que un máximo es cuando la velocidad cambia de positiva a negativa, en efecto, si yo tengo una gráfica de posición en donde es un máximo, la velocidad, la pendiente va a cambiar de positiva a negativa. En este caso, observen que el único tiempo en que la partícula cambia de velocidad positiva a negativa es en "t" igual a cinco segundos, entonces, ese que está mostrado tiene que ser un tiempo en que es un máximo. ¿Qué más sabemos? Sabemos que un mínimo es cuando la velocidad cambia de negativa a positiva, al contrario, la velocidad cambia en una gráfica de posición, si es un mínimo, cambia de negativa a positiva. Entonces, en esta gráfica en 1.2 segundos, en un segundo, diez segundos, aproximadamente, tenemos dos tiempos en los cuales la velocidad cambia de negativa a positiva. Eso significa, entonces, que ahí hay mínimos, esos dos son mínimos. ¿Qué más sabemos? Antes del primer mínimo la velocidad es negativa y decreciendo, esto nos lo dice la gráfica, la velocidad negativa y decreciendo en este intervalo. Tenemos entre 1.2 a cinco segundos, las velocidades son positivas y la pendiente de posición aumenta y luego disminuye, tiene que disminuir, aumentar y disminuir, ¿se fijan?, en este intervalo de uno a cinco segundos. De cinco a diez segundos, las velocidades son negativas y la pendiente de posición aumenta negativamente y luego disminuye. Y por último, en este intervalo tenemos que después de los diez segundos, aproximadamente, 10.2 segundos, las velocidades son positivas y la pendiente de posición aumenta. De tal manera que con esa información es suficiente para poder encontrar de manera cualitativa la gráfica de posición. Con esto tenemos la gráfica de posición de manera cualitativa. No podremos tener de manera exacta esa gráfica, pero sí cualitativamente. Con esto terminamos, muchísimas gracias por su atención.