Hola, bienvenido al sistema del teorema del valor promedio. En este caso, vamos hablar especificamente sobre el teorema del valor promedio de la velocidad. Hasta el momento, lo que hemos hecho es hablar de la razón de cambio de la posición con respecto al tiempo, es decir, de la velocidad o velocidad instantáneas En este tema, lo que vamos a ver es lo contrario. A partir de gráficas de velocidad, vamos a calcular, vamos a establecer cuales son los cambios de posición o desplazamiento. esa va ser parte de nuestra tema en este dia. Hasta el momento, como les había dicho, hemos trabajado con funciones de posición y hemos hablado de la Velocidad de la particular. Ahora empezaremos a trabajar con funciones de velocidad y hablaremos de la posición de la partícula. Veamos este ejemplo. Aquí tenemos un movimiento de velocidad constante. No hay mucho eso quiere decir, la velocidad es constante si yo grafico la velocidad versus el tiempo lo que tengo es una gráfica horizontal. Es decir, en cada tiempo la velocidad es la misma. y es en ese ejemplo es de 5 metros por segundos. Si quisieranos calcular el cambio de posición o el desplazamiento entre dos y ocho segundo entonces, tendríanos que hacer un cálculo con el movimiento de velocidad constante, lo cual, no es complicado ¿por qué? porque nosotros sabemos que un movimiento de velocidad constante la velocidad media es igual en cada intervalo. Cualquier intervalo que ustedes tomen, la velocidad media va a ser igual. igual a la velocidad constante. De tal manera que tenemos que la velocidad media es igual delta x sobre delta t, entonces, quiere decir que para cualquier intervalo la velocidad instantánea en este tipo de movimiento es delta x sobre delta t. Nosotros decíamos que queremos calcular el desplazamiento, el cambio de posición de dos a ocho segundo. Es decir, el intervalo de seis segundos. Si nosotros despejamos el desplazamiento de la ecuación de velocidad media, lo que obtenemos entonces es el desplazamiento que es treinta metros. Observen que este resultado del desplazamiento de la partícula de treinta metros y observamos en la gráfica de velocidad versus tiempo, lo que nos queda es un área. Si nosotros multiplicamos la base de este rectángulo que se forma entre dos y ocho segundos por la altura que en este caso sería cinco metros por segundos, lo que obtenemos es el área y eso son treinta metros. El resultado no es una casualidad en realidad. El cambio de posición o desplazamiento de una partícula que se mueve en una dimensión se puede calcular a partir de la gráfica de velocidad. Es decir, el desplazamiento de una partícula en un intervalo es el área bajo la curva de la gráfica de velocidad en ese intervalo. Eso ocurre para cualquier tipo de gráfica de velocidad. El ejemplo que pusimos es muy sencillo donde la velocidad instantánea es constante. Veamos un movimiento en donde la velocidad instantánea no es constante. Vamos a suponer que aumenta uniformemente. Este es un ejemplo. La velocidad si se fijan en la gráfica es cero entre igual a cero y va aumentando conforme el tiempo va pasando. Entonces, este es otro ejemplo. Lo que queremos encontrar es el desplazamiento en un intervalo de este tipo de gráfica y para eso vamos a utilizar el teorema del valor promedio de la velocidad. Aquí lo importante es entender que es el área bajo la curva. El área bajo la curva, por ejemplo, si yo quisiera calcular el desplazamiento de T1 hasta T2 es el área bajo la curva. Tendríamos ahí esa curva que está sombreada la que tenemos que calcular. Bueno el teorema del valor promedio de la velocidad nos indica que el desplazamiento de en ese intervalo de T1 a T2 es igual a la velocidad promedio multiplicada por el intervalo. La velocidad promedio se define como la suma de la velocidad inicial y la velocidad final entre dos, es decir, es un promedio de velocidades. La velocidad inicial más la velocidad final sobre dos. Esto es lo que obtendríanos es que el desplazamiento sería V1 más V2 sobre dos multiplicado por delta T Ese es el desplazamiento de una de este tipo de movimiento en donde la velocidad aumenta uniformemente. Observemos esta gráfica. Se fijan que el movimiento no es es una gráfica de velocidad en donde la velocidad no aumenta o disminuye uniformemente En este caso, primero aumenta en el primer intervalo, después se mantiene constante y lo disminuye. Pero en cada caso, en cada uno de los intervalos de cero a cuatro segundos o de cuatro a ocho o de ocho a doce segundos vemos que la velocidad sí cambia uniformemente, entonces podemos utilizar el teorema del valor promedio en cada uno de esos intervalo y sumar. Esto lo hacemos de esta manera. Pensemos que el área bajo la curva es realmente lo que estamos buscando y aquí lo dividí en tres intervalos en donde la velocidad o aumenta uniformemente, se mantiene constante o disminuye sobremente. Delta X1 sería el desplazamiento del primer intervalo y así sucesivamente con los otros dos. Observen que el desplazamiento total sería la suma de los desplazamiento. El primer desplazamiento en efecto puedo utilizar el teorema de la velocidad promedio porque aumenta uniformemente. Sería la velocidad promedio en el intervalo uno por el intervalo uno y así sucesivamente con los otros dos que serían la velocidad promedio del intervalo dos por el intervalo dos más la velocidad promedio del intervalo tres por el intervalo tres. Ese sería el cálculo que tengo que hacer y este es un cálculo sencillo de hacer en este tipo de gráfica. En este caso sería uno más dos sobre dos, si se fijan es el, la velocidad inicial del primer intervalo que es uno más dos que sería la velocidad final en el primer intervalo sobre dos sería la velocidad promedio en el primer intervalo, y luego, el intervalo sería cuatro menos cero Asi sucesivamente con los demás, con los otros dos intervalos y lo que obtenemos es un desplazamiento total de dieciocho metros. La partícula se desplazo dieciocho metros. El cambio de posición fue dieciocho metros. ¿Qué hacemos cuando la función de velocidad es más complicada? Es decir que sigan que aquí en ningún intervalo la velocidad cambia uniformemente. Quizás, al final se puede pensar que cambia uniformemente, pero en realidad es una curva en donde la velocidad en ningún momento cambia uniformemente. Sin embargo, aún y cuando no puedo calcular con el teorema de la velocidad promedio el área bajo la curva lo que puedo hacer es aproximar. Si yo quisiera calcular el desplazamiento de cero a catorce segundo, pudiera hacer una aproximación con el teorema de la velocidad del promedio, sin embargo, ese teorema nos va a dar esta área Se fijan que esa área no es igual a la debajo de la curva. Nos está faltando parte del desplazamiento, parte del área. Entonces, pero sería una aproximación, una aproximación, quizás no buena la aproximación, pero sí una aproximación. ¿Que les parece si ahora pensamos en utilizar dos intervalos? Si utilizamos dos intervalos, en efecto, la aproximación mejora. En este caso es como si yo estuviera asumiendo que el primer intervalo de cero a siete segundo la velocidad aumenta uniformemente y de siete a catorce aumenta uniformemente de alguna otra manera, pero aumenta uniformemente. En este caso, la aproximación es mejor, sin embargo, no es igual a lo que nosotros estamos pensando. Si utilizamos cuatro intervalos, se sigan la aproximación es mejor. Sí, en este caso, si divido a mi intervalo total de cero a catorce segundo en cuatro intervalo de tres punto cinco segundos lo que obtengo es una mejor aproximación del área bajo la curva. Lo que tengo es una sola aproximación del desplazamiento de la partícula y esto asumiendo en cada uno en esos pequeños intervalos, esos cuatro intervalos que la velocidad aumenta uniformemente. No lo aumenta, no hace eso, no aumenta uniformemente. Sin embargo, es una buena aproximación. ¿Cual sería entonces una mejor aproximación? Pues a mayor números de intervalos. Tendría yo que utilizar un mayor número de intervalos para encontrar la el desplazamiento, el cambio de posición de la partícula en ese intervalo. Entonces, la conclusión aquí sería que yo puedo utilizar el teorema de la velocidad promedio para calcular desplazamiento de cualquier gráfica de velocidad siempre y cuando, estemos, entendamos que cuando la velocidad no aumenta, ni disminuye uniformemente, es decir, cambia de manera arbitraria, va a ser una aproximación y la mejor aproximación será con el mayor número de intervalo. Claro, que si yo quisiera encontrar informe exacta bajo esa curva, entonces, lo que tendría que hacer es tender a infinito el número de intervalo, ¿no? esa sería matemáticamente lo que yo tendría que hacer. Bueno y con esto terminamos. Les agradezco su atención y nos vemos ne el siguiente tema. [MÚSICA]
