[MUSIQUE] [AUDIO_VIDE] Bonjour, dans cette séance 4 du chapitre 2 nous allons considérer des variables aléatoires à valeur dans N. Et montrer que pour ces variables aléatoires-là, nous allons en fait pouvoir résumer la loi de la variable par une fonction. Donc ça sera un outil particulièrement utile en particulier pour calculer les moments de la variable aléatoire. Donc cette fonction s'appellera la fonction génératrice de la variable aléatoire, et caractérisera la loi de cette variable. Nous allons considérer une variable aléatoire, X, à valeur dans N, et nous allons lui associer sa loi. Donc X prend des valeurs entières, que je note par, n, et je vais associer, pour chaque n, la probabilité, pn, d'avoir, X égale n. Donc jusqu'à présent, nous avons caractérisé la loi de X, par la donnée de ces (n, p de n) pour n un entier quelconque. Nous allons maitenant introduire, pour,s, un nombre réel compris entre zéro et 1, la fonction G indice X, de s, donc c'est une fonction qui est définie sur (0, 1) mais qui va dépendre de la loi de X, et cette fonction est égale donc, au point s, est égale à l'espérance de, s puissance X. s puissance X, c'est une fonction de X, je vous rappelle que X prend des valeurs entières, donc si X égale n, s puissance X, c'est, s puissance n, parfaitement défini pour s dans (0, 1). Et si l'on reprend la définition de l'espérance, cette quantité-là, est égale à la somme de la série, de terme général, pn s puissance n. Bien sûr, on ne peut assurer que cette quantité-là soit toujours une quantité finie, mais ce qui est sûr, c'est que, si s est inférieur ou égal à 1, s puissance n, est inférieur ou égal à 1, et donc, pn, s puissance n, est plus petit que, pn. Je vous rappelle que la somme de la série, enfin, la série de terme général, pn, est convergente, puisque pn, la suite pn définit une probabilité sur N, et la somme de cette série est égale à 1. Donc, pour s plus petit que 1, nous pouvons assurer que la série de terme général, pn,s puissance n, est convergente, et de somme majorée par 1. Donc vous voyez que, GX, de s, c'est en fait défini par une série entière dont le rayon de convergence est nécessairement supérieur ou égal à 1. Cette fonction, G indice X s'appelle la fonction génératrice de X. Nous allons voir qu'en fait cette fonction caractérise la loi de X. Caractérise complètement la loi, elle ne définit pas seulement des paramètres quantitatifs, qui sont associés à X, mais elle va nous définir la loi de X, et c'est le but de la proposition suivante d'expliquer ça. Donc en fait cette proposition nous donne un certain nombre de propriétés sur la fonction génératrice. Premièrement, les propriétés de régularité de cette fonction, on montre que cette fonction génératrice, G indice X, est continue sur son ensemble de définition (0, 1), et de classe C infinie sur [0 fermé, 1[ ouvert, donc en 1. Et de plus, comme je l'ai annoncé, cette fonction génératrice va caractériser la loi de X. Nous verrons en fin de séance comment on peut appliquer ça. De plus, nous allons montrer que on peut caractériser une variable aléatoire à valeur entière, intégrable, par le fait que, sa fonction génératrice, GX, est dérivable, bien sûr à gauche, en s égale 1, et si on a cette propriété-là, l'espérance de X sera égale à la dérivée de GX, en 1. De même, nous montrerons qu'en réitérant la preuve qui nous permet de montrer ce point 2, nous pourrons montrer que la variable aléatoire X fois, X- 1, etc. jusqu'à, X- p, pour un p entier, supérieur ou égal à 1, cette variable aléatoire-là est dans L1, donc est intégrable, si et seulement si, G indice X est, p plus une fois, dérivable en 1, et dans ce cas-là, l'espérance de, X, X- 1, etc. X- p, est égale à la dérivé, p plus unième, de la fonction génératrice, au point 1. Nous allons maintenant montrer cette proposition. Donc premier point de cette proposition, nous avons remarqué que, GX, est la somme définie comme la somme d'une série entière, de rayon de convergence supérieur ou égal à 1. [AUDIO_VIDE] Donc de rayon de convergence, R, supérieur ou égal à 1. Donc je vous renvoie à des résultats que vous avez pu voir sur ces séries entières, ou je vous renvoie à un livre d'analyse sur les séries entières, on en déduit immédiatement que, GX, est continue, sur (0, 1), et de classe, C, infinie, sur, [0, 1[ ouvert en 1 De plus, de ce résultat sur les séries entières, on peut déduire que la dérivée nième de X en zéro, est égale à, pn, n factorielle. Donc dans ce cas-là, vous voyez que nous pouvons, à partir de, GX, calculer les probabilités, pn, je vous rappelle que, pn, c'est la probabilité d'avoir, x égale n, et ces pn caractérisent, définissent la loi de X, et donc, pn, est égale à la dérivée nième de, GX, en zéro, divisée par, factorielle n. nous pouvons donc caractériser la loi de X, à partir de cette fonction génératrice. Nous allons montrer maintenant le point 2, qui est plus subtil, à savoir que l'intégrabilité de X est équivalente au fait que, GX, admet une dérivée en 1. Donc revenons à la définition de, GX de s, je vous rappelle que, GX de s, c'est égal à l'espérance de, s puissance X, et donc égal à la somme et la série entière, de terme général, pn, s puissance n. Nous savons que pour une série entière, nous pouvons dériver la somme de la série, à l'intérieur du domaine de convergence, et donc pour, s plus petit que 1, si s est dans [0, 1[, nous avons déjà souligné le fait que, GX, était de classe, C, infinie sur [0, 1[ ouvert en 1, et nous savons que, G prime, X, de s, est égal à la somme de la série où nous avons dérivé chaque termes, c'est-à-dire, n, pn, s puissance, n- 1. Ici, nous reconnaissons que cette quantité-là est exactement égale à l'espérance de, X s puissance, X- 1. La question maintenant est de savoir si nous pouvons nous permettre de faire tendre, s vers 1, dans cette espérance. Donc il faut justifier la dérivabilité de, GX en 1, vous voyez que les choses sont très liées. Alors pour étudier la dérivabilté de, GX en 1, nous allons revenir à la définition de cette dérivée, qui est à savoir la limite du taux d'accroissement, et nous allons considérer la quantité, GX de s, moins, GX de 1, divisé par s- 1. La question c'est, comment se comporte cette quantité-là quand, s tend vers 1? Que vaut cette quantité? C'est égal à, alors, GX de s, on a vu que c'était la somme des, pn, s puissance n ; GX de 1, eh bien c'est la somme des, pn, dont on sait qu'elle vaut 1, divisée par, s- 1. Donc je vais mettre la somme des, pn, en facteur, et vous voyez que on a, somme sur n de, pn, fois, s puissance, n-1, divisée par s- 1. Pour l'instant Nous avons supposé que s est différent de 1, bien sûr, s est dans 0, 1, ouvert en 1. Je peux simplifier (s n- 1) sur (s- 1) et je vous rappelle, alors on peut mettre ça en vert, vous vérifierez ce calcul, que s n moins 1, c'est égal à s moins 1 facteur de 1 + s + s² + etc., + s (n- 1). Donc, finalement nous trouvons pour notre taux d'accroissement de GX au point 1, la valeur somme sur n des pn facteur de 1 + s + s² + etc., + s (n- 1). Et nous voulons faire tendre s vers 1. Donc, terme à terme, vous voyez que le terme, le nième terme de la série, à savoir pn fois 1 + s + s² jusqu'à s (n- 1) va tendre, quand s tend vers 1, vers pn fois 1 plus 1 plus 1 plus 1, et vous avez n fois 1. Donc, va tendre vers n pn. La question est donc, peut-on passer à la limite sous le signe somme. Dans la sommation. Nous allons pour cela utiliser un résultat mathématique que je vais énoncer, donc sous la forme d'un lemme. Lemme : supposons que nous ayons des fonctions U n de s, qui sont définies dans 0, 1, dans R, telles que, donc, qui à s associe U n de s. Et nous allons supposer que ces fonctions sont croissantes et positives, c'est-à-dire que l'espace d'arrivée de U n de s, c'est R plus. Eh bien, dans ce cas-là, on va pouvoir échanger la limite quand s tend vers 1, alors, on va supposer donc, positives, oui, sur R plus, en fait, il suffit même de supposer qu'elles sont positives pour s strictement plus petit que 1. Mais nous allons montrer qu'on peut échanger [AUDIO_VIDE] la limite quand s tend vers 1 et la sommation. Ici, nous avons des fonctions positives donc, on peut toujours définir la somme d'une série de fonctions à termes positifs, puisqu'on peut se permettre, dans ce cas-là même, d'avoir plus l'infini. Bien. Donc, ce lemme sera montré dans une séance de rappel, sur les séries. Et nous allons appliquer le lemme. Nous appliquons le lemme [AUDIO_VIDE] à U n de s égale pn facteur de (1 + s + etc., + s (n- 1)). Voyez que c'est de manière évidente une suite qui est, enfin, chaque U n de s, c'est une fonction qui est croissante en s et qui est positive donc, on va pouvoir échanger la limite quand s tend vers 1 et la somme en n. Donc, de ce fait, nous allons pouvoir écrire que la limite quand s tend vers 1, du taux d'accroissement, GX de s moins 1, moins pardon GX de 1, GX de 1, c'est 1, sur s moins 1, donc, va être égal, donc ça, c'est égal à la limite en s de la série sur n, des pn (1 + etc., + s (n- 1)). Et j'ai le droit d'inverser, donc d'échanger ma sommation en n et ma limite en s, donc, je vais avoir la somme sur n, de limite, quand s tend vers 1, de pn (1 + etc., + s (n- 1)), et nous avons vu que cela nous donne exactement la somme sur n des n pn, à savoir l'espérance de X. Donc, nous avons montré qu'on pouvait faire tendre s vers 1, dans notre calcul d'espérance, je vous rappelle qu'on avait vu que G prime X de s était égal à l'espérance de X s puissance (X- 1), et nous avons montré que quand G prime X de 1 est fini, eh bien, nous pouvons faire converger s vers 1 dans l'espérance et nous avons que G prime X de 1 égale E de X. Alors, en fait, le point 3 de la proposition est une généralisation de cette propriété-là, où on va réitérer les dérivations. D'abord, formellement et on réappliquera le lemme que j'ai énoncé pour obtenir la caractérisation, de l'existence de l'espérance de X, X- 1, jusqu'à X moins p plus 1, grâce à la dérivée p plus unième de la fonction génératrice GX. Donc, pour comprendre comment arrive, donc, cette équivalence, il suffit de regarder ce que vaut la dérivée p plus unième de la fonction génératrice de X en s, pour s dans 0, 1. Je vous rappelle qu'on peut dériver autant de fois qu'on veut cette fonction génératrice, on a vu qu'elle était classée infinie à l'intérieur de son domaine de convergence, et donc, cette dérivée est égal à la dérivée de la fonction définie par la somme de la série de terme général, pn s puissance n. Donc, c'est ça qu'on dérive p plus unième fois. Et on sait qu'à l'intérieur du domaine de convergence de la série entière, on peut dériver sous le signe somme. Donc, nous allons avoir somme sur n de la probabilité de x égale n, pn fois, et je dérive p plus unième fois, s puissance n. Donc, cela nous donne n facteur de (n- 1) (n- 2) etc., jusqu'à (n- p + 1). s puissance (n- p). Et, on reconnaît là, donc, je vais décaler un peu mon égalité, l'espérance de X (X- 1), etc., X- p + 1) fois s puissance (X- p). Et, là encore il faut justifier, et là je vous laisse vérifier, c'est exactement le même raisonnement que tout à l'heure, il faut justifier le passage à la limite quand s tend vers 1, ce que nous pouvons justifier de la même façon que précédemment, et vous voyez donc, le lien entre les calculs de moment et les dérivées de la fonction génératrice de X. Donc, ça, ça peut être très très utile dans la pratique, quand on veut calculer, donc, en particulier, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire, de calculer la fonction génératrice, on va en voir des exemples, juste après dans cette séance, pour finir cette séance. Alors, une petite remarque, vous voyez que si vous faites p égale 1, ici, dans ce point 3, vous allez avoir la caractérisation du fait que X fois (X- 1) est intégrable par le fait que la fonction génératrice est 2 fois dérivable en 1, et on a un moyen de calculer l'espérance de X fois (X- 1). Alors, X fois (X- 1), c'est X au carré moins X, c'est pas très loin de ce qu'il nous faut pour la variance, mais néanmoins, donc, à partir de ce calcul, on peut récupérer le calcul de la variance, donc, c'est une remarque. Donc, vous voyez que X est intégrable si et seulement si la fonction génératrice de X est dérivable en 1. X et X fois (X- 1) sera intégrable si la fonction génératrice est 2 fois dérivable en 1. Ça, ça vous dit que l'espérance de X 2 moins X existe et de là, on peut bien sûr en déduire que l'espérance de X 2 est finie. Donc, en fait, X va être de carré intégrable si et seulement si GX est 2 fois dérivable en 1, et nous allons pouvoir en déduire le calcul de la variance. Je vous laisse vérifier cette première ligne, mais il est facile de voir que la variance de X, je vous rappelle que, c'est l'espérance de X au carré moins le carré de l'espérance, et l'espérance de X au carré, vous l'écrivez comme l'espérance de X facteur de (X- 1) plus l'espérance de X. Donc, vous avez une formule que vous pouvez retrouver, quand vous en avez besoin, mais pour la variance, qui vous relie, en fait, la variance avec la dérivée seconde de la fonction génératrice au point 1 et donc, la dérivée première de la fonction génératrice au point 1. Donc, à retenir, pour calculer les moments d'une variable aléatoire à valeur entière, il est souvent beaucoup plus rapide d'utiliser les dérivées de la fonction génératrice, plutôt qu'un calcul direct. Et nous allons finir par 2 exemples d'application de cette remarque. Alors, un premier exemple, tout à fait trivial, que vaut la fonction génératrice d'une variable de Bernoulli, de paramètre p Alors rappel pour une variable de Bernoulli, il est immédiat de montrer que l'espérance de x est égale à petit p. Et je vous laisse vérifier que Var(X) = p(1- p). Si l'on veut prendre la fonction génératrice d'une variable de Bernoulli, je vous rappelle qu'elle prend la valeur un avec probabilité petit p et la valeur zéro avec probabilité (1- p), et bien c'est immédiat de voir que l'espérance de s puissance grand X, c'est quand x égal un s puissance x vaut s, donc s puissance x va valoir s avec probabilité 1, et va valoir s puissance zéro, s puissance zéro c'est un, avec probabilité (1- p). Donc la fonction génératrice d'une variable de Bernoulli de paramètre p, pris en s, vaut ps + 1- p. Plus intéressant nous allons regarder la fonction génératrice d'une variable aléatoire binomiale de paramètres n et p. Donc par définition, c'est l'espérance de s puissance x, donc ça vaut la somme donc des probabilités d'avoir grand X égal petit k, pour k variant de zéro à petit n, fois s puissance k. Je vous rappelle que la probabilité d'avoir x égal k, pour x une loi binomiale de paramètres n et p, ça vaut le nombre de parties à k éléments parmi n, fois pk fois (1- p) puissance n- k. Et nous nous allons multiplier donc cette quantité-là par s puissance k. Alors vous voyez on regroupe s puissance k avec p puissance k, ça nous donne du sp puissance k. Nous nous retrouvons avec la somme de k égal zéro à n du nombre de parties à k éléments parmi n, fois sp puissance k, fois (1- p) puissance n- k. Et nous reconnaissons la formule du binôme qui nous donne (1- p + ps) puissance n. Ça c'est le fonction génératrice d'une loi binomiale de paramètres n et p, et il est très facile de montrer que cette fonction génératrice est dérivable en s égal 1, dérivable deux fois, ce qui va nous assurer l'existence de l'espérance et de la variance de x, bon ici comme x prend un nombre fini de valeurs ce sont des choses immédiates, mais l'intérêt ici c'est que l'on peut calculer très rapidement l'espérance de x, et vous vérifierez que c'est p fois n, et la variance de x par la petite remarque que je vous ai fait précédemment. Et vous verrez que la variance de x dans ce que cas-là, je vous laisse vérifier le calcul, c'est np facteur de (1- p). Je vous laisse aussi essayer de montrer directement ces calculs de moments à partir de la loi de la variable aléatoire binomiale et vous verrez que ce n'est pas si simple que ça. Alors dernier exemple, nous avons déjà calculé l'espérance et la variance d'une variable aléatoire de Poisson en partant des formules de calcul, et on peut là aussi plus rapidement calculer directment la fonction génératrice de cette loi de Poisson paramètre thêta, pour thêta un paramètre strictement positif. Donc là encore, la fonction génératrice en petit s c'est d'espérance de s puissance x, et donc c'est la somme pour k entier de s puissance k fois la probabilité que x égal k, c'est-à-dire thêta k sur factorielle k multiplié par e puissance moins thêta. Donc vous mettez e puissance moins thêta en facteur, ici vous trouvez la somme sur k de s thêta puissance k sur factorielle k, et on reconnaît e puissance thêta s. Donc on obtient finalement e puissance thêta s mois thêta comme fonction génératrice de la variable aléatoire grand X en le point petit s. Il est immédiat, la dérivabilité de cette fonction-là bien sûr en s égal un est immédiate, donc ça nous assure l'existence de l'espérance et de la variance de grand X qu'on avait déjà vu précédemment. Et en dérivant deux fois cette fonction génératrice au point petit s égale un, on peut retrouver que l'espérance de x et la variance de x sont égales à thêta.
